Question

已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,设线段的中点为,连结,试问当为何值时,直线过椭圆的顶点?

(Ⅲ) 过坐标原点的直线交椭圆:于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）连接为坐标原点,为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为是的中位线，且,所以

所以，故…………2分

在中，

即,又,解得

所求椭圆的方程为．………………………4分

 (Ⅱ) 由（Ⅰ）得椭圆:

设直线的方程为并代入

整理得:

由得:   ……………………5分

设

则由中点坐标公式得:…………………6分

①当时,有,直线显然过椭圆的两个顶点;………7分

②当时,则,直线的方程为

此时直线显然不能过椭圆的两个顶点;

若直线过椭圆的顶点,则即

所以,解得:(舍去)………………………8分

若直线过椭圆的顶点,则即

所以,解得:(舍去)  ……………9分

 

综上,当或或时, 直线过椭圆的顶点…………10分

（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为……………………………11分

根据题意可设，则

则直线的方程为…①

过点且与垂直的直线方程为…②

①②并整理得：

又在椭圆上，所以所以

即①、②两直线的交点在椭圆上,所以．…………14分

法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为

根据题意可设，则，，

所以直线

，化简得

所以

因为,所以,则……………12分

所以，则,即

【解析】略