Question

已知函数f(x)=ax+

b

x

，且f（1）=2，f(2)=

5

2

（1）求a、b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析：（1）依题意有

f(1)=a+b=2 f(2)=2a+ b 2 = 5 2

，联立方程可求a，b
（2）先判断函数f(x)=x+

1

x

的定义域是否关于原点对称，然后检验f（-x）与f（x）的关系即可
（3）设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂…，然后通过作差，变形比较f（x₁），f（x₂）的大小即可判断函数的单调性

解答：解：（1）依题意有

f(1)=a+b=2 f(2)=2a+ b 2 = 5 2

，…（2分）    
 得

a=1 b=1

…（4分）
（2）f(x)=x+

1

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，…（5分）
∵f(-x)=-x-

1

x

=-f(x)
∴函数f（x）为奇函数．             …（7分）
（3）f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下
设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂…（8分）

f(x1)-f(x2)=x1+ 1 x1 -x2- 1 x2 =x1-x2+ x2-x1 x1x2 =(x1-x2)(1- 1 x1x2 ) = (x1-x2)(x1x2-1) x1x2

∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0…（12分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）…（13分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．    …（14分）

点评：本题主要考查了利益待定系数法求解函数的解析式，及函数的奇偶性、单调性的判断，属于函数基础知识的综合应用．