题目内容
设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数．
（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数．
证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．
∴f（0）=1．
令m=x＜0，n=-x＞0，
则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，
∴f（-x）f（x）=1，
又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，
∴f(x)=
＞1．
（2）设x1＜x2，则x1-x2＜0，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．
∴f（0）=1．
令m=x＜0，n=-x＞0，
则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，
∴f（-x）f（x）=1，
又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，
∴f(x)=
| 1 |
| f(-x) |
（2）设x1＜x2，则x1-x2＜0，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
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