题目内容

已知一非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，2）， $数学公式$
（1）证明：{|a_n|}是等比数列；
（2）求向量a_n-1与a_n的夹角θ（n≥2）；
（3）把向量a₁，a₂，…，a_n…中所有与a₁共线的向量按原来的前后顺序排成一列，记为b₁，b₂，…，b_n，…，其中b₁=a₁，若 $数学公式$ （O是坐标原点），求S_n

解：（1）证明： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，∴{|a_n|}是首项为 $\text{[math]}$ ．公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．（4分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴a_n-1与a_n的夹角θ=90°（6分）
（3）∴由（2）知，a₁∥a₃∥a₅∥．即b_n=a_2n-1．
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）用等比数列的定义证明：先求 $\text{[math]}$ ，通过 $\text{[math]}$ 符合等比数列的定义可证，但要注意明确首项和公比．
（2）根据向量的夹角公式来求，先求数量积，再分别求模，代入公式求解．
（3）由（2）知，a₁∥a₃∥a₅∥奇数项共线，则b_n=a_2n-1．由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，从而有 $\text{[math]}$ 再由等比数列前n项和公式求解．
点评：本题主要考查知识间的转化与应用，涉及到数列的判断与证明，通项公式及前n项和公式的灵活运用．

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（1）证明：{|a_n|}是等比数列；
（2）设θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设c_n=|a_n|log₂|a_n|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

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（2）设θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
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