Question

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-8，其导函数y=f'（x）的图象经过点(-2，0)，(

2

3

，0)，如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f'（x）=3ax²+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），(

2

3

，0)，
∴

-2+ 2 3 =- 2b 3a -2× 2 3 = c 3a

?

b=2a c=-4a

∴f（x）=ax³+2ax²-4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在(-2，

2

3

)上单调递增，在(

2

3

，+∞)上单调递减，
由f（x）_极小值=f（-2）=a（-2）³+2a（-2）²-4a（-2）=-8，解得a=-1
∴f（x）=-x³-2x²+4x
（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f（x）_min≥m²-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在(-2，

2

3

)上单调递增，在(

2

3

，3]上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8
∴f（x）_min=f（3）=-33（11分）-33≥m²-14m?3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．