Question

已知函数f(x)=

x3

3

，g(x)=t

2

3

x-

2

3

t．
（Ⅰ）当t=8时，求函数y=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当t＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立．

Answer 1

分析：（I）先对函数y=f（x）-g（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据g′（x）＞0求得的区间是单调增区间，g′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）令h(x)=f(x)-g(x)=

x3

3

-t

2

3

x+

2

3

t(x＞0)．利用导数求出fh（x）最小值，从而证得当t＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立．

解答：解：（Ⅰ）当t=8时，g(x)=4x-

16

3

∴y=f(x)-g(x)=

x3

3

-4x+

16

3

y′=x²-4
令y′＞0，得x＜-2或x＞2，令y′＜0，得-2＜x＜2
故所求函数y=f（x）-g（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）
（Ⅱ）证明：令h(x)=f(x)-g(x)=

x3

3

-t

2

3

x+

2

3

t(x＞0)
由h′(x)=x2-t

2

3

因为t＞0，由h′(x)=x2-t

2

3

=0，得x=t

1

3

当x∈(t

1

3

，+∞)时，h′（x）＞0；当x∈(0，t

1

3

)时，h′（x）＜0
当变化时，y与y′的变化情况如下表：

x	(0，t 1 3 )	t 1 3	(t 1 3 ，+∞)
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值	↗

∴h（x）在（0，+∞）内有唯一的极小值h(t

1

3

)
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值h(t

1

3

)=0
故当t＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．