Question

（2012•大连二模）已知函数f（x）定义域为{x∈R|x≠0），对于定义域内任意x、y，都有f（x）+f（y）=f（xy）．且x＞1时，f（x）＞0，则（　　）

A．f（x）是偶函数且在（-∞，0）上单调递减

B．f（x）是偶函数且在（-∞，0）上单调递增

C．f（x）是奇函数且在（-∞，0）上单调递增

D．f（x）是奇函数且在（-∞，0）上单调递减

Answer 1

分析：利用赋值法求出f（1），再求出f（-1）的值，利用偶函数的定义判断函数为偶函数；设x₁＜x₂＜0，作差得，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x2•

x1

x2

）=f（x₂）-f（x₂）-f（

x1

x2

）=-f（

x1

x2

），根据x＞1时f（x）＞0，可判断差的符号，由单调性定义即可判断f（x）在（-∞，0）上的单调性；

解答：解：令x=y=1，得f（1）+f（1）=f（1），所以f（1）=0，
令x=y=-1，得f（-1）+f（-1）=f（1），所以f（-1）=0，
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
设x₁＜x₂＜0，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x2•

x1

x2

）=f（x₂）-f（x₂）-f（

x1

x2

）=-f（

x1

x2

），
因为x₁＜x₂＜0，所以

x1

x2

＞1，
所以f（

x1

x2

）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以函数f（x）在（-∞，0）上递减，
故选A．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性的判断问题，定义是解决该类题目的常用方法，要熟练掌握．