Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为A，PA=AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM．
（1）试确定点M的位置；
（2）计算直线PB与平面MAC的距离；
（3）设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得AE⊥平面PBD？

Answer 1

分析：（1）设AC∩BD=O，则O这BD的中点，设点M为PD中点，在△PBD中，PB∥OM，由此能够确定M的位置使PB∥平面ACM．
（2）设AB=1，则PA=AB=1，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，知CD⊥PD，AM=

2

2

，AC=

2

，MC=

6

2

，故S△MAC=

3

4

，利用等积法能够求出直线PB与平面MAC的距离．
（3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出当点E为PC中点时，AE⊥平面PBD．

解答：解：（1）设AC∩BD=O，则O这BD的中点，
设点M为PD中点，
∵在△PBD中，PB∥OM，
OM?平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
故当点M为PD中点时，PB∥平面ACM．
（2）设AB=1，则PA=AB=1，
∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PD，∴AM=

2

2

，AC=

2

，MC=

6

2

，
∴AM²+MC²=AC²，
∴S△MAC=

3

4

，
取AD的中点F，连接AF，
则MF∥PA，MF⊥平面ABCD，且MF=

1

2

，
∵PB∥平面ACM，M为PC的中点，
∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h，
∵V_M-ACD=V_D-ACM，
∴

1

3

×

3

4

×h=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

，
解得h=

3

3

．
（3）以A为原点，AB、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
∴

PB

=(1，0，-1)，

PD

=（0，1，-1），
设平面PBD的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

PB

=0，

n

•

PD

=0，
∴

x-z=0 y-z=0

，∴

n

=(1，1，1)，
设

PE

=λ

PC

，
则E（λ，λ，1-λ），
∵AE⊥平面PBD，
∴

AE

∥

n

，∴λ=

1

2

，∴E为PC中点．
故当点E为PC中点时，AE⊥平面PBD．

点评：本题考查满足条件的点的位置的确定，考查直线到平面的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等积法和向量法的合理运用．