题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
、
均为等边三角形，
为
的中点，点
在
上.
（1）求证：平面
平面
；
（2）若点是线段的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）证明
平面
，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）以
，
，
所在的直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，设
，求出向量
和面
的一个法向量
，再求两向量夹角的余弦值，从而求得答案.
（1）因为
、
均为等边三角形，
为
的中点，
所以
，
.
又
，所以
平面，即平面.
又
平面
，所以平面
平面；
（2）因为平面
平面
，平面
平面
，，
平面
，所以
平面
.
又
平面，所以
，所以，，两两互相垂直.
故以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如下图所示：
不妨设，则
，
.
则点
，
，
，
，
，
.
则
，
，
，
设平面的法向量为
，则
，
取
，
，
，则，
，
，
，
，
则直线
与平面所成角的正弦值为.
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【题目】随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加.某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数
（单位：人）各年份的数据如下表：
年份（ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 24 | 27 | 41 | 64 | 79 |
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合
与时间
（单位：年）的关系，请通过计算相关系数
加以说明，（若
，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式
参考数据
（2）该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表
地区 |
|
|
|
|
|
|
|
|
时间 | 0.9 | 1.6 | 1.4 | 2.5 | 2.6 | 2.4 | 3.1 | 1.5 |
①求该样本数据的平均数
；
②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间
近似服从正态分布
，如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间
的人数.
（附：若随机变量
服从正态分布
则
，
【题目】某高校在2019年的冬令营考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示：
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 |
| 5 | 0.050 |
第2组 |
| 35 | 0.350 |
第3组 |
| 10 | 0.100 |
第4组 |
| 20 | 0.200 |
第5组 |
| 30 | 0.300 |
合计 | 100 | 1.00 | |
（1）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（2）在（1）的前提下，高校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A考官测试的概率.
