Question

f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：
①f(x)=3-

4

x

不可能是k型函数；
②若函数y=

(a2+a)x-1

a2x

(a≠0)是1型函数，则n-m的最大值为

2 3

3

；
③若函数y=-

1

2

x2+x是3型函数，则m=-4，n=0；
④设函数f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为

4

9

．
其中正确的说法为

 

．（填入所有正确说法的序号）

Answer 1

分析：根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．

解答：解：①中，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3-

4

2

=1，f（4）=3-

4

4

=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，∴f（x）是

1

2

型函数，∴命题错误；
②中，y=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）是1型函数，即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，
∴方程的两根之差x₁-x₂=

(a+1)2 a2 - 4 a2

=

1+ 2 a - 3 a2

≤

2 3

3

，即n-m的最大值为

2 3

3

；∴命题正确；
③中，y=-

1

2

x²+x是3型函数，即-

1

2

x²+x=3x，解得x=0，或x=-4，∴m=-4，n=0；∴命题正确；
④中，f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函数，则x³+2x²+x=kx有二负实数根，∴0＜k＜1，∴命题错误；
∴正确的命题是②③；
故答案为：②③．

点评：本题考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是易错题．