题目内容

函数f（x）=x³+bx²+cx+d的大致图象，x₁、x₂是两个极值点，则x₁²+x₂²=________．

$\text{[math]}$
分析：首先由函数f（x）的图象过三个已知点，可求出b、c、d，即函数f（x）的解析式；然后求出其导函数f′（x）；而x₁、x₂是方程f′（x）=0的两根，则利用韦达定理即可把x₁²+x₂²表示出来，问题解决．
解答：∵函数f（x）=x³+bx²+cx+d的零点有-1、0、2．
∴ $\text{[math]}$ 解得b=-1，c=-2，d=0．
∴f（x）=x³-x²-2x∴f′（x）=3x²-2x-2．
又x₁、x₂是f（x）的两个极值点，∴x₁、x₂是方程3x²-2x-2=0的两个根．
则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$
因此x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：要搞清极值与导数的关系：“函数f（x）有极值点a”是“f′（a）=0”的充分不必要条件．

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