Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=

3

，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P-BC-D为

π

6

，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC⊥平面PBD；
（2）确定∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．

解答：（1）证明：∵CD²=BC²+BD²，∵BC⊥BD
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD
而BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）
（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=

π

6

而BD=

3

，所以PD=1…（7分）
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，

3

，0)，C(-1，

3

，0），P（0，0，1）
所以，

AP

=(-1，0，1)，

BC

=(-1，0，0)，

BP

=(0，-

3

，1）
设平面PBC的法向量为

n

=(a，b，c)，∴

n • BC =0 n • BP =0

…（10分）
即

-a=0 - 3 b+c=0

可解得

n

=(0，1，

3

）
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=

| AP • n |

| AP |•| n |

=

3

2 •2

=

6

4

…（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．