题目内容

（2013•闸北区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1为到定点F（
2
2
，
2
2
）的距离与到定直线l1：x+y+
2
=0的距离相等的动点P的轨迹，曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转45°形成的．
（1）求曲线C1与坐标轴的交点坐标，以及曲线C2的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞0）的直线l2交曲线C2于A、B两点，点N是点M关于原点的对称点．若
AM
=λ
MB
，证明：
NM
⊥（
NA
-λ
NB
）．
分析：（1）设P（x，y），根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，建立关于x、y的方程并化简整理，即可得到曲线C1的方程．分别取x=0和y=0解出曲线C1在轴上的截距，即可曲线C1与坐标轴的各交点的坐标．再由曲线是以F（
2
2
，
2
2
）为焦点，直线l1：x+y+
2
=0为准线的抛物线，将其顺时针方向旋转45°得到的抛物线焦点为（1，0），准线为x=-1，可得曲线C2的方程是y2=4x；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l2的方程为y=k（x-m），与抛物线y2=4x消去x，得y2-
4
k
y-4m=0，可得y1y2=-4m．设N（-m，0），由
AM
=λ
MB
算出λ=-
y1
y2
，结合向量坐标运算公式得到
NA
-λ
NB
关于x1、x2、λ和m的坐标式，代入
NM
•（
NA
-λ
NB
）并化简，整理可得
NM
•（
NA
-λ
NB
）=0，从而得到对任意的λ满足
AM
=λ
MB
，都有
NM
⊥（
NA
-λ
NB
）．
解答：解（1）设P（x，y），由题意知曲线C1为抛物线，并且有
(x-
2
2
)2+(y-
2
2
)2
=
|x+y+
2
|
2
，
化简得抛物线C1的方程为：x2+y2-2xy-4
2
x-4
2
y=0．
令x=0，得y=0或y=4
2
；再令y=0，得x=0或x=4
2
，
所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4
2
）和（4
2
，0）．
点F（
2
2
，
2
2
）到l1：x+y+
2
=0的距离为
|
2
2
+
2
2
+
2
|
2
=2，
所以C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，
设直线l2的方程为y=k（x-m），代入y2=4x得
y2-
4
k
y-4m=0，可得y1y2=-4m．
由
AM
=λ
MB
，得（m-x1，-y1）=λ（x2-m，y2），可得λ=-
y1
y2
，
而N（-m，0），可得
NA
-λ
NB
=（x1+m，y1）-λ（x2+m，y2）=（x1-λx2+（1-λ）m，y1-λy2）
∵
NM
=（2m，0），
∴
NM
•（
NA
-λ
NB
）=2m[x1-λx2+（1-λ）m]=2m[
y12
4
+
y1
y2
-
y22
4
+（1+
y1
y2
）m]
=2m（y1+y2）•
y1y2+4m
4y2
=2m（y1+y2）•
-4m+4m
4y2
=0
∴对任意的λ满足
AM
=λ
MB
，都有
NM
⊥（
NA
-λ
NB
）．
点评：本题给出动点的轨迹，求轨迹对应的方程并讨论由曲线产生的向量互相垂直的问题，着重考查了点到直线的距离公式、平面内两点的距离公式、一元二次方程根与系数的关系和平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中档题．
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