Question

（2009安徽卷理）（本小题满分13分）

首项为正数的数列满足          

（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；

（II）若对一切都有，求的取值范围.

Answer 1

解析：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。

解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，

则由递推关系得是奇数。         

根据数学归纳法，对任何，都是奇数。

（II）（方法一）由知，当且仅当或。

另一方面，若则；若，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切都有的充要条件是或。

（方法二）由得于是或。

          

因为所以所有的均大于0，因此与同号。

根据数学归纳法，，与同号。         

因此，对一切都有的充要条件是或。