题目内容

设椭圆 $数学公式$ 过点M（ $数学公式$ ，1），且左焦点为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断是否存在经过定点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足 $数学公式$ • $数学公式$ ，若存在求出直线l的方程，不存在说明理由．

解：（1）∵左焦点为F1（- $\text{[math]}$ ，0），
∴c²=a²-b²=2，
∵椭圆过点M（ $\text{[math]}$ ，1），
∴ $\text{[math]}$ ，
联立 $\text{[math]}$ ，得a²=4，b²=2，
∴椭圆C方程： $\text{[math]}$ ．
（2）存在经过定点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．
设直线l为y=kx+2，
把y=kx+2代入 $\text{[math]}$ ，并整理，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得k= $\text{[math]}$ ，
∴直线l为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由左焦点为F1（- $\text{[math]}$ ，0），知c²=a²-b²=2，由椭圆过点M（ $\text{[math]}$ ，1），知 $\text{[math]}$ ，联立 $\text{[math]}$ ，能推导出椭圆C方程．
（2）设直线l为y=kx+2，把y=kx+2代入 $\text{[math]}$ ，并整理，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4= $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，知x₁x₂+y₁y₂=0，所以 $\text{[math]}$ ，由此能求出直线l的方程．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆、向量、韦达定理的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．