Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，若S=

3

4

(b2-a2-c2)，（1）求角B的大小；（2）求

a+c

b

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由三角形的面积公式表示出S，和已知的S相等得到一个关系式，根据余弦定理表示出cosB，把求出的关系式代入利用同角三角函数间的基本关系即可得到tanB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由正弦定理化简所求的式子，把B的度数代入即可得到所求式子与sinA和sinC的关系式，利用三角形的内角和定理及B的度数，得到A与C的和，用C表示出A，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把关系式化为一个角的正弦函数，由角的范围利用正弦函数的图象得到正弦函数的值域，进而得到所求式子的范围．

解答：解：（1）由S=

1

2

acsinB，又S=

3

4

(b2-a2-c2)得：
a²+c²-b²=-

2 3

3

acsinB，
则cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

3

3

sinB，即tanB=-

3

，又B∈（0，π），
所以B=

2π

3

；
（2）由正弦定理得：

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

，又B=

2π

3

，
所以

a+c

b

=

2 3

3

（sinA+sinC）=

2 3

3

[sinA+sin（

π

3

-A）]
=

2 3

3

（sinA+sin

π

3

cosA-cos

π

3

sinA）=

2 3

3

sin（

π

3

+A），
由A+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

），得到sin（

π

3

+A）∈（

3

2

，1]，
则

a+c

b

∈(1，

2 3

3

]．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道中档题．