Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的某个焦点为F，双曲线G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的某个焦点为F．
（1）请在

 

上补充条件，使得椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；友情提示：不可以补充形如a=

3

，b=1之类的条件．
（2）命题一：“已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，定点P（m，n）满足n²-2pm＞0，以PF为直径的圆交y轴于A、B，则直线PA、PB与抛物线相切”．命题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线P（x，y），定点P，以PF为直径的圆交F（0，1）轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；
（3）证明命题一的正确性．

Answer 1

分析：（1）可以考虑椭圆的离心率，长轴长等；或椭圆所经过的点；或椭圆的准线及利用椭圆的定义给出条件
（2）一：考虑椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的某个焦点为F，定点P（m，n）满足

m2

a2

+

n2

b2

＞1的相关的性质
 二：考虑双曲线G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的某个焦点为F，定点P（m，n）满足

m2

a2

-

n2

b2

＜1相关的性质
（3）先求以PF为直径的圆的方程为(x-m)(x-

p

2

)+y(y-n)=0，设A（0，y₁），B（0，y₂），则可得y1(y1-n)+

1

2

pm=0，从而可得直线PA的方程为y-y1=

n-y1

m

x=

p

2y1

x，即px-2y₁y+2y₁²=0
联立

px-2y1y+2 y 2 1 =0 y2=2px

，可得到y²-4y₁y+4y₁²=0，通过判断△=0

解答：解：（1）补充一：椭圆的离心率为e=

6

3

，且椭圆的长轴长为2

3

补充二：椭圆过(

3

，0)和(1，

6

3

)
补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为2

3

，且椭圆的一条准线长为

3 2

2

类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分（2分）
（2）命题一：已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的某个焦点为F，定点P（m，n）满足

m2

a2

+

n2

b2

＞1，
以PF为直径的圆与圆x²+y²=a²交于A、B两点，则PA、PB与椭圆相切．（5分）
命题二：已知双曲线G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的某个焦点为F，定点P（m，n）满足

m2

a2

-

n2

b2

＜1，
以PF为直径的圆与圆x²+y²=a²交于A、B两点，则PA、PB与双曲线相切．（9分）
（3）证明：以PF为直径的圆的方程为(x-m)(x-

p

2

)+y(y-n)=0，
设A（0，y₁），B（0，y₂），
则y1(y1-n)+

1

2

pm=0，
直线PA的方程为y-y1=

n-y1

m

x=

p

2y1

x，即px-2y₁y+2y₁²=0
联立

px-2y1y+2 y 2 1 =0 y2=2px

，
消去x得到y²-4y₁y+4y₁²=0，所以△=0，所以直线PA与抛物线相切．
同理可证PB与抛物线相切．（13分）

点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，圆锥曲线的综合应用，解（2）的关键是要能由已知进行类别，解决本题要求考试具备较强的类比的能力及逻辑推理的能力．