Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率为

27

166

．

Answer 1

分析：如图，易证明BD₁⊥正六边形EFGHIJ，此时在正六边形上有

C

2 6

=15条直线与直线BD₁垂直．与直线BD₁垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，共有直线4×

C

2 3

=12条，而所有的直线共有

C

2 20

-12×(

C

2 3

-1)=166条，从而求得任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率．

解答：解：如图，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分别为相应棱上的中点，
容易证明BD₁⊥正六边形EFGHIJ，
此时在正六边形上有

C

2 6

=15条直线与直线BD₁垂直．
与直线BD₁垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，
共有直线4×

C

2 3

=12条．
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱的中点共20个点，
任取2点连成直线数为

C

2 20

-12×(

C

2 3

-1)=166条直线
（每条棱上如直线AE，ED，AD其实为一条），
故对角线BD₁垂直的概率为

15+12

166

=

27

166

．
故答案为

27

166

．

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．