Question

直线y=x+1与双曲线C：-=1(b＞0)恒有公共点.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2)若直线l:y=x+m(m∈R)过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P、Q两点，并且满足=，求双曲线C的方程.

Answer 1

解：(1)把y=x+1代入双曲线-=1，得b²x²-2(x+1)²-2b²=0.

    整理得(b²-2)x²-4x-2(1+b²)=0.

    当b²=2时，直线与双曲线有一个交点，这时e=2.

    当b²≠2时，直线与双曲线恒有公共点Δ=16+8(b²-2)(1+b²)≥0恒成立,即b⁴-b²≥0恒成立.

    ∵b²＞0,∴b²≥1.

    ∴e²==≥.

    ∴e≥.

    综上所述e的取值范围为［,+∞).

    (2)设F(c,0)，则直线l的方程为y=x-c.

    把y=x-c代入双曲线-=1，

    得b²(y+c)²-2y²-2b²=0.

    整理得(b²-2)y²+2cb²y+b²c²-2b²=0.

    设两交点为P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),

    则y₁+y₂=,y₁y₂=.

    ∵=,

    ∴y₁=y₂.

    ∴6y₁=,5y₁²=.

    ∴=.

    ∵b²＞0,c²-2=b²,

    ∴=.

    ∴b²=7.

    ∴所求双曲线C的方程为-=1.