Question

【题目】已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）
（1）若f（x）≥g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1∈（0， ），若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：）f（x）≥g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立x2﹣ax﹣lnx≥0恒成立，x＞0a≤ ，x＞0．

令u（x）= ，x＞0，则u′（x）=1﹣ = ，

当x=1时，x2+lnx﹣1=0；当x＞1时，u′（x）＞0，此时函数u（x）单调递增；当0＜x＜1时，u′（x）＜0，此时函数u（x）单调递减．

因此当x=1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（1）=1．

∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]

（2）解：由题意知道：h（x）=x2﹣ax+lnx．则 = （x＞0），

所以方程2x2﹣ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x1，x2，且 ，

又∵ ，∴ ∈（1，+∞），且 ，（i=1，2），

而h（x1）﹣h（x2）= ﹣ = ﹣

= + = ﹣ + = ，（x2＞1）

设u（x）= （x＞1），则u′（x）= ≥0，

∴u（x）＞u（1）= ，即h（x1）﹣h（x2）＞ 恒成立，

因此 ．

∴实数m的最大值为 ﹣ln2

【解析】（1）f（x）≥g（x）对于公共定义域内的任意x恒成立x2﹣ax﹣lnx≥0恒成立，x＞0a≤ ，x＞0．令u（x）= ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由题意知道：h（x）=x2﹣ax+lnx．则 = （x＞0），所以方程2x2﹣ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x1 ， x2 ， 且 ，可得 ∈（1，+∞），且 ，（i=1，2），而h（x1）﹣h（x2）= ，（x2＞1）设u（x）= （x＞1），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．