Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

（ I）当x∈(0，

π

2

)，求f（x）的值域；
（II）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

分析：（ I）化简函数f（x）的解析式为sin（2x-

π

6

）-1，由x∈(0，

π

2

) 求得sin（2x-

π

6

）的范围，可得函数的解析式．
（II）△ABC中，由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0求出sin（2C-

π

6

）的值，可得C=

π

3

．再由两个向量共线的性质，可得b=2a，再由 cosC=

a2+b2- c2

2ab

=

1

2

，求得a，b的值．

解答：解：（ I）∵f(x)=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，x∈(0，

π

2

)，
∴2x-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），∴-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，∴-

3

2

＜f（x）≤0，即函数f（x）的值域为（-

3

2

，0]．
（II）△ABC中，∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，∴sin（2C-

π

6

）=1，∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
∵

m

∥

n

，

m

=（1，sinA）与向量

n

=（2，sinB），∴sinB-2sinA=0，由正弦定理可得 b=2a．
又 cosC=

a2+b2- c2

2ab

=

1

2

，解得a=1，b=2．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理、两个向量共线的性质，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．