Question

【题目】设函数（，，，）的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．

（1）求函数的表达式；

（2）设函数（）的两个极值点，（）恰为的零点，当时，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由已知可得，由为偶函数．又

，又恒成立恒成立

；（2）由（1）得，由题意得 ，由，（）

，又，设（），（）记为，利用导数工具求得的最小值为．

试题解析： （1）由已知可得，

∵函数为偶函数，

∴，

即恒成立，

所以． 又，∴，，

又∵对一切实数，不等式恒成立，

∴恒成立，

∴

∴，∴．

（2）由（1）得，，

∴（），，

由题意得 又，

∴，解得，

∵，（）为的零点，

∴，，

两式相减得，，

又，从而

， 设（），

则（）记为，

，

∴在上单调递减，

∴，

故的最小值为．