Question

已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1．将△PAD沿AD折起，使面⊥面ABCD(如图2)．

   

(I)证明：平面PAD⊥平面PCD；

(Ⅱ)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分:=2：1；   

(Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下，判断直线PD是否平行平面AMC

Answer 1

(Ⅰ)证明：依题意知：CD⊥AD．又∵面PAD⊥面ABCD  

       ∴DC⊥平面PAD． 

      又DC平面PAD．∴平面PAD⊥平面PCD．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PA⊥平面ABCD．∴平面PAB⊥平面ABCD

    在PB上取一点M，作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD，

    设MN=h

    则

     

要使，即，解得    

    即M为PB的中点．

(Ⅲ)以A为原点，

AD、AB、AP所在直线为，，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系

则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)， P(0，0，1)，M(0，1，)

由(Ⅰ)知平面PAD⊥平面PCD，作AQ⊥PD，则AQ⊥平面PDC，则为平面PCD的法向量．

又∵△PAD为等腰Rt△．

∴Q为PD的中点，即Q

 因为，所以不垂直

所以AM与平面PCD不平行．