题目内容

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，证明：.

【答案】（1）单调递减区间为和，无单调递增区间；（2）证明见解析

【解析】

（1）由，可得，令，根据导数求得的最值，即可求得单调区间；

（2）由于的定义域为，当，得恒成立. 故要证原结论成立，只要证恒成立即可.构造函数，根据导数求得，即可求得答案.

（1）

.

令，则.

由得，且易知是的极大值点.

故对任意的成立.

又的定义域为，

则的单调递减区间为和，无单调递增区间.

（2）由于的定义域为，

得恒成立.

故要证原结论成立，只要证恒成立即可.

令，

下只要证即可.

令.

则对任意的恒成立.

故在和上分别单调递增.

①当时，恒成立，

又，故恒成立；

②当时，恒成立，

又，故恒成立.

综上所述，对任意的成立，故原结论成立.

练习册系列答案
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