Question

已知f(x)=log2

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得

1+x

1-x

＞0，即

1+x

x-1

＜0，由此解得x的范围，即可得到f（x）的定义域．
（Ⅱ）根据f（x）的定义域关于原点对称，f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．
（Ⅲ）由f（x）＞0可得

1+x

1-x

＞1，即

2x

x-1

＜0，解得 0＜x＜1，由此可得使f（x）＞0的x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵已知f(x)=log2

1+x

1-x

，∴

1+x

1-x

＞0，即 

1+x

x-1

＜0，解得-1＜x＜1，故f（x）的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）∵f（x）的定义域关于原点对称，f（-x）=log2

1-x

1+x

=-log2

1+x

1-x

=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
（Ⅲ）由f（x）＞0可得

1+x

1-x

＞1，即

2x

x-1

＜0，解得 0＜x＜1，故求使f（x）＞0的x的取值范围是（0，1）．

点评：本题主要考查对数函数的定义域，函数的奇偶性的判断方法，分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．