Question

（2011•广东模拟）如果直线l₁：2x-y+2=0，l₂：8x-y-4=0与x轴正半轴，y轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：写出可行域，确定目标函数的最优解为B（1，4），代入Z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4，再利用基本不等式，即可得到结论．

解答：解：设P（x，y）为封闭区域中的任意点
则P（x，y）满足约束条件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

…（3分）
可行域如图所示…（6分）
目标函数的最优解为B（1，4）…（8分）
依题意将B（1，4）代入Z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4…（10分）
有基本不等式得：a+b≥2

ab

=4（当且仅当a=b=2时，等号成立）
故a+b的最小值为4…（12分）

点评：本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定目标函数的最优解，利用基本不等式求最值．