Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为

3

，侧棱长为3，点E，F分别在BB₁，DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面AEF；
（Ⅱ）求二面角A-EF-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面AEF的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用AC₁在平面A₁B上的射影为A₁B以及A₁B⊥AE得到A₁C⊥AE；同理A₁C⊥AF即可证：A₁C⊥平面AEF；
（Ⅱ）先由Rt△A₁AB∽Rt△ABE，得到EB=1，AE=

3-1

=

2

；同理DF=1，AF=

2

；进而得DBEF是矩形，可知OG⊥EF，∠OGA是二面角A-EF-B的平面角，求出tan∠OGA即可；
（Ⅲ）利用V_B1-AEF=V_F-AEB1=V_D-AEB1，得到h=

DA•S△AEB1

S△AEF

，通过求三角形的面积即可求出点B到平面AEF的距离．

解答：解：（Ⅰ）∵CB⊥平面A₁B，
∴AC₁在平面A₁B上的射影为A₁B．
又A₁B⊥AE，AE⊆平面A₁B，
∴A₁C⊥AE．
同理A₁C⊥AF，
∴A₁C⊥平面AEF．
（Ⅱ）∵A₁B⊥AE，AA₁⊥AB，
∴∠BA₁A=∠EAB，
∴Rt△A₁AB∽Rt△ABE，
∴

EB

AB

=

AB

A1A

，EB=1，AE=

3-1

=

2

．
同理DF=1，AF=

2

．取EF和DB的中点G、O，连接AG、GO，
由AE=AF，得AG⊥EF，
由EB=FD，得DBEF是矩形，可知OG⊥EF．
∴∠OGA是二面角A-EF-B的平面角．
且tan∠OGA=

AO

OG

．
由AO=

6

2

，OG=1，
∴tanα=

6

2

．
∴α=arctan

6

2

．
即二面角A-EF-B的大小为arctan

6

2

．　　
（Ⅲ）设点B到平面AEF的距离是h．
由V_B1-AEF=V_F-AEB1=V_D-AEB1，得

1

3

h•S_△AEF=

1

3

DA•S_△AEB1，
∴h=

DA•S△AEB1

S△AEF

．
由AG=

OG2+OA2

=

1+ 3 2

=

10

2

，EF=DB=

6

，
_△AEF=

1

2

•EF•AG=

15

2

，
DA=

3

，S_△AEB1=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴h=

3

15 2

=

2 15

5

．
即点B到平面AEF的距离是

2 15

5

．

点评：本题涉及到二面角的平面角及求法以及点到面的距离和线面垂直．一般在证明线面垂直时，通常转化为和平面内的两条相交直线垂直．