Question

设函数f（x）在定义域D上满足f（）=-1，f（x）≠0，且当x，y∈D时，f（x）+f（y）=f（）．若数列{x_n}中，，（x_n∈D，n∈N^×）．则数列{f（x_n）}的通项公式为

1. A.
   f（x_n）=2^n-1
2. B.
   f（x_n）=-2^n-1
3. C.
   f（x_n）=-3ⁿ⁺¹
4. D.
   f（x_n）=3ⁿ

Answer 1

B
分析：由所给的函数关系式知，而数列之间又具备一个递推式，把递推式代入函数式得2f（x_n）=f（x_n+1），所以数列{f（x_n）}是一个首项为-1，公比是2的等比数列，得到结果．
解答：∵，
∴，
∵，
∴2f（x_n）=f（x_n+1），
∴数列{f（x_n）}是首项为-1，公比是2的等比数列，
∴f（x_n）=-2^n-1，
故选B
点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，所以数列通常与函数知识结合起来，这种题目可以提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．