Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的零点；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时，若对恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，可知当时，，

可得两零点分别为和；（Ⅱ）由，得或，分，，三种情况进行讨论；（Ⅲ）由求得函数在上的最小值，若不等式对恒成立，则，解得.

试题解析：（Ⅰ）令，即。

因为，所以。

，因为，所以。

所以方程有两个不等实根：。

所以函数有且只有两个零点和。

（Ⅱ）。

令，即，解得或。

当，列表得：

				1
		0		0
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

当时，

（1）若，则，列表得

				1
		0		0
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

（2）若，则，列表得

		1		1
		0		0
	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，单调递增区间为，单调递减区间为。

（Ⅲ）因为，所以当时，有，

所以，从而。

当时，由（Ⅱ）可知函数在时取得最小值。

所以为函数在上的最小值。

由题意，不等式对恒成立，

所以得，解得。

所以的取值范围是。