Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量

n

=(1，1，1)，证明

AM

⊥

n

，即可证得AM∥平面PBC；
（2）求出

PA

=(1，0，-2)，利用向量夹角公式，即可求得PA与平面PBC所成角的正弦值．

解答：（1）证明：如图建立空间直角坐标系，设PD=CD=2AD=2，BC=

2

a，则A（1，0，0），B（a，2-a，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，0，1）．    …（3分）
设平面PBC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

•

PB

=0，

n

•

PC

=0
∴ax+y（2-a）-2z=0，2y-2z=0
令z=1得

n

=(1，1，1)．         …（7分）
而

AM

=(-1，0，1)，所以

AM

•

n

=0，即

AM

⊥

n

，
又AM?平面PBC
故AM∥平面PBC；．…（9分）
（2）解：

PA

=(1，0，-2)，设PA与平面PBC所成角为α，
由直线与平面所成角的向量公式有sinα=

| PA • n |

| PA || n |

=

1

5 × 3

=

15

15

．　　　　　　　　　　　　　　　　　…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查线面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．