题目内容

已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x-2sin（x+
π
4
）sin（x-
π
4
）．
（1）若tanα=2，求f（α）；
（2）若x∈[
π
12
，
π
2
]，求f（x）的取值范围．
（1）∵f（x）=（1+cotx）sin2x-2sin（x+
π
4
）sin（x-
π
4
）=sin2x+sinxcosx+cos2x
=
1-cos2x
2
+
1
2
sin2x+cos2x=
1
2
(sin2x+cos2x)+
1
2

∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα=
2sinα•cosα
sin 2α+cos 2α
=
2tanα
1+tan 2α
=
4
5
，
cos2α=cos 2α-sin 2α=
cos 2α-sin 2α
cos  2α+sin 2α
=
1-tan 2α
1+tan 2α
=-
3
5


=
1
2
(sin2x+cos2x)+
1
2

由tanα=2得sin2α=
2sinαcosα
sin2α+cos2α 
=
2tanα
1+tan2α
=
4
5
，
cos2α=
cos2α-sin2a
sin2α +cos2a
=
1-tan2α
1+tan2α
=-
3
5
，
所以f(α)=
3
5
．
（2）由（1）得f(x)=
1
2
(sin2x+cos2x)+
1
2
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2

由x∈[
π
12
，
π
2
]得2x+
π
4
∈[
5π
12
，
5π
4
]，所以sin(2x+
π
4
)∈[-
2
2
，1]
从而f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
∈[0，
1+
2
2
]．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=f(2x+
π
4
)的图象关于直线x=
π
6
对称，求φ的值．
已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，时f（x）的表达式；
（2）若关于x的方程f（x）-a=o有解，求实数a的范围．
已知函数f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的单调递增区间；（文科可参考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，记函数g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在区间（1，3）上总不单调，求实数m的范围．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009
已知函数f（x）是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且对于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，则实数a的取值范围是
 
．

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