Question

已知函数

(1) 当时，求函数的最值；

(2) 求函数的单调区间；

(3) 试说明是否存在实数使的图象与无公共点.

Answer 1

解：（1） 函数f(x)=x²-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)

当a=1时，，所以f (x)在为减函

在为增函数，所以函数f (x)的最小值为=.

(2)

若a≤0时，则f(x)在(1,+∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(1,+∞).

若a＞0，则故当， ，

当时，f(x) ,

所以a＞0时f(x)的减区间为，f(x)的增区间为.

 (3) a≥1时，由（1）知f(x)在(1,+∞)的最小值为，

令在 [1,+∞)上单调递减，

所以则>0，

因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于，

故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点.