题目内容

已知等差数列{a_n}满足a₃+a₄=9，a₂+a₆=10；又数列{b_n}满足nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=S_n，其中S_n是首项为1，公比为 $数学公式$ 的等比数列的前n项和．
（1）求a_n的表达式；
（2）若c_n=-a_nb_n，试问数列{c_n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c_n≤c_k成立？并证明你的结论．

解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃+a₄=9，a₂+a₆=10，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
（2）∵S_n是首项为1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列的前n项和，
∴nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n= $\text{[math]}$ ，①
（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+2b_n-2+b_n-1= $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$ ，②
①-②得b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
当n=1时，b₁=T_n=1，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．．
于是c_n=-a_nb_n $\text{[math]}$ ．
设存在正整数k，使得对?n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．
当n=1时， $\text{[math]}$ ，即c₂＞c₁．
当n≥2时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴当n＜7时，c_n+1＞c_n；
当n=7时，c₈=c₇；
当n＞7时，c_n+1＜c_n．
∴存在正整数k=7或8，使得对?n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．
分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的通项公式、 $\text{[math]}$ 、分类讨论的思想方法即可得出．
点评：熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、 $\text{[math]}$ 、分类讨论的思想方法是解题的关键．