Question

已知函数 f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，a∈R．
（Ⅰ）当 a=1时，求函数 f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后解出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判出在各区间段内的单调性，从而的导函数的最小值；
（Ⅱ）求出函数的导函数，根据a的不同取值对函数定义域分段，由函数导函数的符号判断原函数在各区间段内的单调性；
（Ⅲ）在假设存在实数a使得对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立的前提下，把问题转化为（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，然后构造函数g（x）=f（x）-ax，利用导函数求出使函数g（x）在（0，+∞）上为增函数的a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，
当a=1时，f(x)=

1

2

x2-2lnx-x，
f′(x)=x-

2

x

-1=

x2-x-2

x

=

(x+1)(x-2)

x

．
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）在x=2时取得最小值，其最小值为f（2）=-2ln2．
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

2a

x

+(a-2)=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

，
∴（1）当-2＜a＜0时，若x∈（0，-a），f'（x）＞0，f（x）为增函数；
若x∈（-a，2），f'（x）＜0，f（x）为减函数；
若x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当a=-2时，在（0，+∞）上f^′（x）≥0，f（x）为增函数；
（3）当a＜-2时，若x∈（0，2），f'（x）＞0，f（x）为增函数；
若x∈（2，-a），f'（x）＜0，f（x）为减函数；
若x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，只要

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a，即：f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁．
令g（x）=f（x）-ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数即可．
又函数g(x)=

1

2

x2-2alnx-2x．
考查函数g′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

=

(x-1)2-1-2a

x

要使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要-1-2a≥0，即a≤-

1

2

，
故存在实数a∈(-∞，-

1

2

]，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法求参数的取值范围，属难题．