Question

如图,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m＞0),端点A、B到x轴距离之积为2 m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线.

(1)求此抛物线方程;

(2)若tan∠AOB=-1,求m的取值范围.

Answer 1

解：(1)当AB不垂直于x轴时,设AB方程为y=k(x-m),抛物线方程为y²=2px(p＞0),

由得ky²-2py-2pkm=0,

∴y₁y₂=-2pm.∴|y₁y₂|=2pm=2m.

∴p=1.

当AB⊥x轴时,A、B分别为(m,)、(m,-),由题意有2pm=2m,p=1.

故所求抛物线方程为y²=2x.

(2)设A(),B(,y₂),

由(1)知y₁y₂=-2m,y₁+y₂=,

∴|y₁-y₂|=又tan∠AOB=-1,

k₁=,k₂=,

∴,即y₁y₂+4=2|y₁-y₂|.

∴-2m+4=.                            ①

平方后化简,得m²-12m+4=.

∴m²-12m+4＞0.

∴m＜6-4或m＞6+4.

又由①知-2m+4＞0,∴m＜2.

∴m的取值范围为0＜m＜6-4且AB⊥x轴时,

y₁=2(-1),y₂=-2(2-1),

y₁y₂=-4(2-1)²=-2m,tan∠AOB=-1符合条件.故符合条件的m的取值范围为0＜m≤6-4.