Question

函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，
∴
∴y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0）
由题意得f′（0）=g′（a），即，
又∵a＞0，
∴a=1，
∴g（x）=lnx
（2）由题意g（x）≠0，
∴x＞0，x≠1
当x∈（1，+∞）时，
令，
∴
令h（x）=，
∴
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）单调递增．
∴h（x）＞h（1）=0
由在x∈（1，+∞）上恒成立，得m≤φ（1）=1
当x∈（0，1）时，
可得，
∴φ（x）单调递增．
由在x∈（0，1）上恒成立，
得m≥φ（1）=1，
综上，可知m=1；
分析：（1）已知函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，对其进行求导，然后分别求出f（x）与g（x）与坐标轴的交点，根据f′（0）=g′（a），求出a值，从而求解；
（2）由题意g（x）≠0，可得x＞0，x≠1，分两种情况进行求解①当x∈（1，+∞）时；②当x∈（0，1）时；利用导数的研究函数的单调性，从而求解；
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的恒成立问题的转化，是一道综合性比较强的题，注意分类讨论思想的应用，此题是一道中档题；