Question

如图所示的曲线C是由部分抛物线C 1：y=x2-1（|x|≥1）和曲线C₂：x2+

y2

m

=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直线l与曲线C₁相切于点M，与曲线C₂相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）当t=

2

时，求m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求出此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）依题意可表示出切线的方程整理后代入C₂的方程整理求得m的关系式，利用判别式等于0，即可求得m的值，从而可得N的坐标；
（2）题意可表示出切线的方程整理后代入C₂的方程整理求得m的关系式，利用判别式等于0，即可求得m=0或m和t的关系式，表示出直线AM和AN的斜率，若∠MAB=∠NAB，则k_AM=-k_AN，求得t，进而根据中m和t的关系式，求得m，进而求得M，N的坐标，利用两点式求得MN所在直线的方程．

解答：解：（1）切线l：y-1=2

2

（x-

2

），即y=2

2

x-3，
代入x2+

y2

m

=1，化简并整理得（m+8）x²-12

2

x+9-m=0，
由△=（12

2

）²+4（m+8）（9-m）=4m（m-1）=0
∵m＞0，∴m=1．
此时，点N的坐标为（

2 2

3

，-

1

3

）．
（2）由题意可知M（t，t²-1），切线l的方程表达式为y-（t²-1）=2t（x-t），即y=2tx-t²-1，
与x2+

y2

m

=1联立方程组，整理得（m+4t²）x²-4t（t²+1）x+（t²+1）²-m=0，（*）
由△=16t²（t²+1）²+4（m+4t²）[m-（t²+1）²]=4m[m-（t²-1）²]=0
得m=0（舍去）或m=（t²-1）²．
此时，点N的坐标为（

2t

t2+1

，-

(t2-1)2

t2+1

）．
∵A（-1，0），M（t，t²-1），∴kAM=

t2-1

t+1

=t-1，kAN=

- (t2-1)2 t2+1

2t t2+1 +1

=-（t-1）²，
若∠MAB=∠NAB，则k_AM=-k_AN，即t=2，此时m=9，
故当实数m=9时，∠MAB=∠NAB．
此时k_AM=1，k_AN=-1，∠MAB=∠NAB=45°，
∴M（2，3），N（

4

5

，-

9

5

），
∴MN所在直线的方程为y=4x-5．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题的能力，推理计算能力，知识的综合问题．