题目内容

已知函数f （x）=3sin²ax+ $数学公式$ sin ax cos ax+2cos²ax的周期为π，其中a＞0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当 $数学公式$ 上时求f （x）的单调递增区间及值域．

解：（Ⅰ）由题意得f（x）= $\text{[math]}$ （1-cos 2ax）+ $\text{[math]}$ sin 2ax+（1+cos 2ax）= $\text{[math]}$ sin 2ax- $\text{[math]}$ cos 2ax+ $\text{[math]}$
=sin（2ax- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
因为f （x）的周期为π，a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
令2x- $\text{[math]}$ ∈[2kπ- $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z），可得x∈[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z），
∵ $\text{[math]}$ ，∴当 $\text{[math]}$ 上时，f （x）的单调递增区间为 $\text{[math]}$ ；
∵ $\text{[math]}$ ，∴2x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
∴sin（2x- $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ，1]
∴f（x）的值域为[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得函数的周期，即可求a的值；
（Ⅱ）整体思维，利用正弦函数的单调性，结合 $\text{[math]}$ ，可得单调增区间；确定2x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，可得函数的值域．
点评：本题考查三角函数的解析式和有关性质，考查学生的计算能力，属于中档题．