Question

下列命题中正确的有

 

．
①?x∈R，使sinx+cosx=2；②对?x∈R，sinx+

1

sinx

≥2；③对?x∈(0，

π

2

)，tanx+

1

tanx

≥2；④?x∈R，使sinx+cosx=

2

．

Answer 1

分析：利用辅助角公式，将sinx+cosx化成正弦型函数的形式，求出其值域后，可以判断①，④的真假；使用基本不等式求出sinx+

1

sinx

的值域，可以判断②的真假；由x∈(0，

π

2

)，tanx＞0，

1

tanx

＞0，使用基本不等式可以判断③的真假；进而得到答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]；
故①?x∈R，使sinx+cosx=2错误；
④?x∈R，使sinx+cosx=

2

正确；
∵sinx+

1

sinx

≥2或sinx+

1

sinx

≤-2，故②对?x∈R，sinx+

1

sinx

≥2错误；
③对?x∈(0，

π

2

)，tanx＞0，

1

tanx

＞0，由基本不等式可得③tanx+

1

tanx

≥2正确；
故答案为：③④

点评：本题考查的知识点是全称命题和特称命题，其中根据基本不等式和正弦型函数的性质，是解答本题的关键．