Question

下列命题中正确的有

③④

．（填上所有正确命题的序号）
①若f'（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值；
②若∫_a^bf（x）dx＞0，则f（x）＞0在[a，b]上恒成立；
③已知函数f（x）=

-x2+2x

，则∫₀¹f（x）dx的值为

π

4

；
④一质点在直线上以速度v=t²-4t+3（m/s）运动，从时刻t=0（s）到t=4（s）时质点运动的位移为

4

3

（m）

Answer 1

分析：根据函数极值的定义，结合举反例得到①是错误的；根据积分的含义和有关公式，通过举出反例得到②是错误的；利用换元积分的方法，根据有关积分公式结合三角换元，计算得到③是正确的；根据积分的物理意义，质点的位移应该等于速度函数在某个时间段上的积分的值，利用积分公式可以通过计算，得到④是正确的．

解答：解：对于①，若f'（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀不一定取得极值，
比如函数f（x）=x³，它的导数为f'（x）=3x²，在x=0处满足f'（0）=0，
但函数f（x）是R上的增函数，在x=0处不能取得极值，故①错误；
对于②，若∫_a^bf（x）dx＞0，则f（x）＞0在[a，b]上不一定恒成立，
比如f（x）=x，∫_-1²f（x）dx=(

1

2

x2 +c)

|

2 -1

=(

1

2

×22+c)-[

1

2

×(-1)2+c] =

3

2

，其中c为常数，
满足∫_-1²f（x）dx＞0，但f（x）在[-1，2]上有正有负，故②错误；
对于③已知函数f（x）=

-x2+2x

=

1-(x-1)2

令x-1=cosα，则x=1+cosα，
其中

π

2

≤α≤π，x=0对应α=π，x=1对应α=

π

2

∴∫₀¹f（x）dx=-∫

π

2

π

1-cos2α

dcosα=-∫

π

2

πsinα(cosα)/dα
=∫

π

2

π(sin2α) dα=∫

π

2

π

1-cos2α

2

dα=(

1

2

α-

1

4

sin2α+c)

|

π 0.5π

=(

π

2

-

1

4

sin2π+c)-(

π

4

-

1

4

sinπ+c) =

π

4

，其中c为常数，
所以∫₀¹f（x）dx的值为

π

4

，故③正确；
对于④，一质点在直线上以速度v=t²-4t+3（m/s）运动，
从时刻t=0（s）到t=4（s）时质点运动的位移等于：
∫₀⁴v（t）dt=(

1

3

t3-2t2+3t+c)

|

0 4

=(

1

3

×43-2×42+3×4+c)-(

1

3

×03-2×02  +3×0+c)=

4

3

，其中c为常数，
从时刻t=0（s）到t=4（s）时质点运动的位移为

4

3

（m），故④正确．
故答案为：③④

点评：本题借助于命题真假的判断与应用，着重考查了函数的导数与极值之间的关系、积分的有关公式和积分的物理意义等知识点，属于中档题．