Question

某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m²的厂房，工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；=2 ②修1m旧墙的费用为

a

4

元；=3 ③拆去1m的旧墙，用可得的建材建1m的新墙的费用为

a

2

元，经讨论有两种方案：
（1）利用旧墙一段x m（0＜x＜14）为矩形一边；
（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14；
问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较（1）（2）两种方案哪个更好．

Answer 1

分析：根据题意将实际问题的数学模型建立起来是解决本题的关键．利用两种不同的方案分别给出费用的表达式，通过比较大小确定出哪个方案更好．

解答：解：（1）方案：修旧墙费用为x•

a

4

元，拆旧墙造新墙费用为（14-x）•

a

2

，
其余新墙费用：(2x+

2×126

x

-14)a
∴总费用y=7a(

x

4

+

36

x

-1)（0＜x＜14）
∴y=7a(

x

2

-

6

x

)2+35a≥35a，当x=12时，y_min=35a；
（2）方案，利用旧墙费用为14•

a

4

=

7a

2

（元），建新墙费用为(2x+

252

x

-14)a（元）
总费用为：y=2a(x+

126

x

)-

21

2

a（x≥14）
设f(x)=x+

126

x

(x≥14)，则f′(x)=1-

126

x2

=

x2-126

x2

，
当x≥14时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，∴f（x）_min=f（14）=35.5a．
由35a＜35.5a知，采用（1）方案更好些．
答：采用（1）方案更好些．

点评：本题考查函数模型的应用问题，考查建立函数模型解决实际问题的意识，通过建立的模型选择合适的方法求解相应的最值，通过最值之间的关系比较进行选择．突出数学的应用价值．