Question

【题目】已知函数，.

（1）设函数()，讨论的极值点个数；

（2）设直线为函数的图像上一点处的切线，试探究：在区间上是否存在唯一的，使得直线与曲线相切.

Answer 1

【答案】（1）当时，有两个极值点，时，没有极值点.（2）存在，答案见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，令，根据的符号，分类讨论，即可求解；

（2）由，求得切线的方程，设直线与曲线相切于点，由，说明的方程也是，再证明在区间上存在且唯一即可.

（1）由题意，函数，

可得()，令.，

①当即时，在上恒成立，此时在上单调递增，极值点个数为0

②当时，在上恒成立，此时在上单调递增，极值点个数为0；

③当时，，设，是的两根，则，，故，，此时在上有两个极值点.

综上所述，当时，有两个极值点，时，没有极值点

（2）因为，可得，

所以切线的方程为，即

设直线与曲线相切于，∵，∴即，

∴，

∴直线的方程也为，即，

∴，即.

下证：在区间上存在且唯一，设()，

，则在上单调递增.

又，，

由零点存在性定理知：存在，使得，即.

故在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切.