题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，g（x）=2alnx（e为自然对数的底数，a＞0）
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，若F（x）有最值，请求出最值；
（2）当a=1时，求f（x）与g（x）图象的一个公共点坐标，并求它们在该公共点处的切线方程．

解：（1）因为F（x）=f（x）-g（x）= $\text{[math]}$ -2alnx
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
若 $\text{[math]}$ ，则F'（x）＜0，F（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减；
若 $\text{[math]}$ ，则F'（x）＞0，F（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增．
∴当x= $\text{[math]}$ 时，F（x）有极小值，也是最小值，
即 $\text{[math]}$ ，
∴当a＞0时，F（x）的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ，
故函数F（x）的单调递增区间为（ $\text{[math]}$ ，+∞），最小值为-alna无最大值．

（2）当a=1时，由（1）可知F（x）_min=F（ $\text{[math]}$ ）=0
$\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是f（x）与g（x）图象的一个公共点．
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）与g（x）的图象在点（ $\text{[math]}$ ，1）处有共同的切线，
其方程为 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ．
分析：首先对于（1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，及函数F（x）的最值，考虑到先列出函数的表达式，再根据表达式求出导函数F′（x），根据导函数在区间的正负性判断函数的单调区间，再使导函数等于0求出函数的极值，即可得到答案．
对于（2）当a=1时，求f（x）与g（x）的一个公共点，并求它们在该公共点处的切线方程，故根据（1）可判断方程F（x）=f（x）-g（x）有最小值0，故此点即为f（x）与g（x）的一个公共点．再根据导函数求出公共点处切线．即可根据直线方程的求法求出切线方程．
点评：此题主要考查利用导函数求闭区间最值的问题，其中涉及到直线方程的求法问题，属于函数方面的综合性问题，对学生基础知识的综合能力要求较高，属于中档题目．