Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为BD、BB₁的中点．

(I) 求证：EF⊥AD₁；

(Ⅱ)求二面角E-D₁F-A的大小   

(Ⅲ)求三棱锥D₁-AEF的体积．

Answer 1

解：(I)连结B₁D、A₁D．

    ∵ ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，

           ∴ A₁D是B₁D在平面AA₁D₁D的射影， 并且   A₁D⊥AD₁    ∴ AD₁⊥B₁D（三垂线定理）    

又 ∵在△BB₁D内，E、F分别为BD、BB₁的中点，∴ EF∥B₁D．

     ∴ EF⊥AD₁． 

     (Ⅱ)以A为原点，AB、AD、AA₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则易知各点的坐标分别为：A (0,0,0), E(1,1,0), F(2,0,1), D₁ (0,1,2)

     ∴  AE=(1,1,0), AF=(2,0,1), AD₁=(0,2,2)         

∵AE⊥平面BB₁D₁D，∴ AE就是平面BB₁D₁D的法向量。

     设平面AFD₁的法向量为n=(x,y,z) ,则

     n?AF =(x,y,z) ?(2,0,1)=2x+z=0,n?AD₁=(x,y,z) ?(0,2,2)=2y+2z=0

     令x=1,得z=-2,y=2, 即n=(1,2,-2)  ∴ cos<AE?n> =…=

     由图形可知，二面角E-D₁F-A的平面角为锐角，

      ∴ 二面角E-D₁F-A的大小为45°。

      (Ⅲ)由(I)知，EF⊥AD₁，又显然EF⊥AE ∴EF⊥平面AED₁

      ∴EF就是三棱锥F-AED₁的高。又∵AE⊥平面BB₁D₁D，∴AE⊥D₁E

      ∴三棱锥F-AED₁的底面AED₁是直角三角形。

      易求得

      ∴三棱锥D₁-AEF的体积