Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，x∈[0，6]的图象经过（0，0）和（6，0）两点，如图所示，且函数f（x）的值域为[0，9]．过动点P（t，f（t））作x轴的垂线，垂足为A，连接OP．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）记△OAP的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（I）方法一：由二次函数f（x）的图象知：对称轴，顶点坐标，且过原点；则方法一，由

f(0)=0 - b 2a =3 4ac-b2 4a =9

，得a，b，c，从而得f（x）；
方法二：设f（x）的定点式方程，由f（x）过原点，可得f（x）的解析式；
（II）△OAP的面积为S=

1

2

•|OA|•|AP|=

1

2

t（6t-t²）=3t²-

1

2

t³，t∈（0，6），对S求导，利用导数求出S在定义域内的最值即可．

解答：解：（I）由题意，知：函数f（x）的对称轴为x=3，顶点为（3，9）；
方法一：由

f(0)=0 - b 2a =3 4ac-b2 4a =9

得：a=-1，b=6，c=0；
所以，f（x）=6x-x²，x∈[0，6]；
方法二：设f（x）=a（x-3）²+9，
由f（0）=0，得a=-1，所以，f（x）=6x-x²，x∈[0，6]；
（II）△OAP的面积为：S(t)=

1

2

|OA|•|AP|=

1

2

t(6t-t2)，t∈(0，6)，
对求导，得S′(t)=6t-

3

2

t2=

3

2

t(4-t)；
列出表格：

t	（0，4）	4	（4，6）
S'（t）	+	0	-
S（t）	单调增	极大值	单调减

由上表可得t=4时，三角形面积取得最大值．
即：S(t)max=S(4)=

1

2

×4(6×4-42)=16．

点评：本题考查了二次函数，三次函数模型的应用，并且利用导数求得三次函数在其定义域内的最值问题，属于中档题．