Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c满足f（1）=0，f（3）=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间 （2m，m+1）具有单调性，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题可知x²+bx+c=0的两根为1和3，进而由二次函数双根式可得函数解析式．
（2）由（1）可得：该二次函数的对称轴为：x=2，所以结合二次函数的有关性质可得：

2m＜m+1 2m≥2

或

2m＜m+1 m+1≤2

，进而求出答案即可．

解答：解：（1）由题可知x²+bx+c=0的两根为1和3，
由二次函数双根式得：f（x）=（x-1）（x-3）．
（2）由（1）可得：该二次函数的对称轴为：x=2，
∴

2m＜m+1 2m≥2

①或

2m＜m+1 m+1≤2

②，
由①得m无解，
由②得m＜1，
∴m＜1．
所以m的取值范围为（-∞，1）．

点评：本题考查二次函数的单调性，求函数方程的有关方法，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．