Question

已知函数f(x)=

3

sinωx•cosωx+cos2ωx（其中ω＞0），且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角公式与两角和的正弦公式可得：f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，根据题意可得函数的周期，即可得到函数的解析式，进而根据二倍角公式求出答案．
（II）根据题意结合正弦定理可得：2sinAcosB=sin（B+C），所以cosB=

1

2

，B=

π

3

，所以可得

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，所以

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，结合f（x）的解析式即可求出函数f（A）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：
f(x)=

3

sinωx•cosωx+cos2ωx
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

．
因为函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，
所以T=

2π

2ω

=4π，所以ω=

1

4

，
所以f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

．
由f（x）=1可得sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

．
∴cos（

2π

3

-x）=cos（x-

2π

3

）=-cos（x+

π

3

）
=-[1-2sin²（

x

2

+

π

6

）]=2•（ 

1

2

 ）²-1=-

1

2

．
（Ⅱ）∵（2a-c）cosB=bcosC，并且结合正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

．
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，所以

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1．
又∵f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∴f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

．
故函数f（A）的取值范围是（1，

3

2

）．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握三角的有关公式与正弦定理，以及三角函数的有关性质．