Question

9．判断下列函数的奇偶性
①f（x）=xlg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）；
②f（x）=（1-x）$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1（x＞0）}\\{{x}^{2}+2x-1（x＜0）}\end{array}\right.$；
④f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$．

Answer 1

分析 由奇偶函数的定义，先求函数的定义域，再判断f（-x）和f（x）的关系即可．

解答 解：①f（x）=xlg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的定义域为R，f（-x）-f（x）=-xlg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）-xlg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0，
∴函数是偶函数；
②f（x）=（1-x）$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$的定义域为[-1，1），不关于原点对称，非奇非偶；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1（x＞0）}\\{{x}^{2}+2x-1（x＜0）}\end{array}\right.$，设x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=x²-2x-1=-f（x），
同理x＜0时，f（-x）=-f（x），
∴函数是奇函数；
④f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$的定义域为[-2，0）∪（0，2]．f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$，
∴f（-x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{-x}$=-f（x），∴函数是奇函数．

点评 本题考查函数奇偶性的判断，属基础知识的考查，较简单．