Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，M、N分别为BB₁、A₁C₁的中点。

   （Ⅰ）求证：AB⊥CB₁；

   （Ⅱ）求证：MN//平面ABC₁。

   

Answer 1

见解析

解析:

（1）在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，且侧面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，

∴AB⊥平面BB₁C_??1C

∵CB₁平面BB₁C₁C，

∴AB⊥CB₁. 

（2）证法一

取AA₁的中点E，连NE、ME，

∵在△AA₁C_??1中，N、E是中点，

∴NE//AC

又∵M、E分别是BB₁、AA₁的中点，            

∴ME//BA，

又∵AB∩AC₁=A，

∴平面MNE//平面ABC₁，

而MN平面MNE，

∴MN//ABC₁.

证法二

取AC₁的中点F，连BF、NF

在△AA₁C₁中，N、F是中点，

∴NFAA₁，

又∵BMAA₁，

∴EFBM，

故四边形BMNF是平行四边形，

∴MN//BF，………………10分

而EF面ABC₁，MN平面ABC₁，∴MN//面ABC₁.