题目内容

记实数x₁，x₂，…，x_n中的最大数为max{x₁，x₂，…，x_n}，最小数为min{x₁，x₂，…，x_n}．设△ABC的三边边长分别为a，b，c，且a≤b≤c，定义△ABC的倾斜度为 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t=；
（ⅱ）设a=1，则t的取值范围是．

1 $\text{[math]}$
分析：（i）分三种a=b=c、a=b＜c和a＜b=c三种情况加以讨论，分别求出max{ $\text{[math]}$ }和min{ $\text{[math]}$ }的值，即可算出总有实数t=1成立，得到本题答案；
（ii）根据题意，可得max{ $\text{[math]}$ }=c且min{ $\text{[math]}$ }= $\text{[math]}$ ，因此对c＜b²和c≥b²两种情况加以讨论，利用三角形两边之和大于第三边和不等式的性质进行推导，联解不等式组可得t的取值范围是[1， $\text{[math]}$ ）．
解答：（i）若a=b=c，则max{ $\text{[math]}$ }=min{ $\text{[math]}$ }=1
∴t=max{ $\text{[math]}$ }•min{ $\text{[math]}$ }=1；
若a=b＜c，则max{ $\text{[math]}$ }= $\text{[math]}$ ，min{ $\text{[math]}$ }= $\text{[math]}$
∴t=max{ $\text{[math]}$ }•min{ $\text{[math]}$ }= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1；
若a＜b=c，则max{ $\text{[math]}$ }= $\text{[math]}$ ，min{ $\text{[math]}$ }= $\text{[math]}$
∴t=max{ $\text{[math]}$ }•min{ $\text{[math]}$ }= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1
综上所述，可得若△ABC为等腰三角形，则t=1；
（ii）∵a=1，a≤b≤c，
∴max{ $\text{[math]}$ }=max{ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，c}=c
而min{ $\text{[math]}$ }=min{ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，c}= $\text{[math]}$
①当c＜b²时，t=c• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得c=tb，（t≥1）
∵由1+b＞c，得1+b＞tb，∴t≠1时，b＜ $\text{[math]}$
∵c=tb＜b²，∴t＜b，可得t＜ $\text{[math]}$ ，解之得1＜t＜ $\text{[math]}$
而t=1时，b=c＞a=1，符合题意．所以此时t的范围为[1， $\text{[math]}$ ）
②当c≥b²时，t=c• $\text{[math]}$ =b，可得
∵1+b＞c且c≥b²，
∴1+b＞b²，解之得1≤b＜ $\text{[math]}$
即1≤t＜ $\text{[math]}$ ，得此时t的范围为[1， $\text{[math]}$ ）
综上所述，可得当a=1时，t的取值范围是[1， $\text{[math]}$ ）．
故答案为：1，[1， $\text{[math]}$ ）
点评：本题给出三角形三边中任意两边的比值，求它们的最大值与最小值之积的取值范围，着重考查了函数最值的意义、三角形两边之和大于第三边、不等式的基本性质和不等式的解法等知识，属于中档题．